Question

6．已知三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，且均為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{2}$-1，1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$，結(jié)合圖形求出它的最大、最小值．

解答 解：三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，且均為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$=（1-x，1-y），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=1；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（1-x）}^{2}{+（1-y）}^{2}}$=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$，

它表示單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（1，1）的距離，
其最大值是PM=r+|OP|=1+$\sqrt{2}$，最小值是|OP|-r=$\sqrt{2}$-1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離大小關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，是中檔題．