Question

已知函數(shù)與的圖像都過點(diǎn)，且它們在點(diǎn)處有公共切線.
（1）求函數(shù)和的表達(dá)式及在點(diǎn)處的公切線方程；
（2）設(shè)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

（1），，；
（2）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)減區(qū)間是 單調(diào)增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)沒有單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間是.

試題分析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)和有公共的切線，所以切線的斜率相同，又因?yàn)樗鼈兌歼^，所以可以列出方程，求出；（2）先求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的定義域，通過討論的正負(fù)，求導(dǎo)求單調(diào)區(qū)間.
試題解析：(1)∵過點(diǎn)
∴，,                                        （2分）
∵，∴切線的斜率.
∵， （1）
又∵的圖像過點(diǎn)∴ （2）
聯(lián)立（1）（2）解得：                                （4分）
∴；切線方程為，即
∴，；切線為：      （6分）
（2）∵，
∴                            （9分）
①當(dāng)時(shí)，， ∵，∴
又，∴當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，.
∴的單調(diào)減區(qū)間是 單調(diào)增區(qū)間是；       （11分）
②當(dāng)時(shí)，顯然沒有單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間是.    （13分）