【題目】如圖,在三棱柱中,平面平面,,

分別為棱的中點.

(1)求證:

(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)連接,易證,結(jié)合平面平面可知平面,又,平面,從而得證;(2)先證明兩兩垂直,分別以方向為軸, 軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面與平面的法向量的坐標,代入公式,即可得到所成的銳二面角的余弦值

試題解析:

(1)連接.

,

是等邊三角形.

為棱的中點,∴.

∵平面平面,平面平面, 平面.

平面.

平面,.

,

是菱形.

.

分別為的中點,

,.

,平面.

平面.

(2)連接,

,

為正三角形.

的中點,∴.

又∵平面平面,

且平面平面,

平面,

平面.

兩兩垂直,

∴分別以方向為軸, 軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.

.

設平面的一個法向量為,

,得.即.

由(1),知平面

∴平面的一個法向量為.

設平面與平面所成的銳二面角大小為,

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

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