Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，滿足$n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，則當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=n²-n+1．

Answer 1

分析 $n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，可得n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，n≥2時(shí)可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．相減可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．即可得出．

解答 解：∵n（S_n+1+S_n-1-2S_n）=2+a_n（n≥2，n∈N^*），a₁=1，a₂=2，
∴n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，
n≥2時(shí)可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．
相減可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，
∴n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
又2（a₃-2）=2+2，解得a₃=4．
∴公差d=4-2=1．
∴n≥2時(shí)，S_n=1+2（n-1）+$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$×2=n²-n+1．
故答案為：n²-n+1．
F（x）=f（x）-a

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．