Question

3．已知函數f（x）=a（x-1）-lnx（a∈R），g（x）=e^x-x-1．
（1）求函數g（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意x∈[1，+∞），存在x₀∈R，使得f（x）≥g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=e^x-1，通過g'（x）＞0，g'（x），求解可得函數的單調區(qū)間，
（2）依題意可對任意x∈[1，+∞），f（x）≥g（x）_min，求出g（x）_min=g（0）=0，故對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求出函數的導數，通過a分類討論，轉化不等式求解a的取值范圍．

解答 （普通中學做）解：（1）∵g'（x）=e^x-1．…（2分）
∴g'（x）＞0?x＞0，g'（x）＜0?x＜0．…（4分）
故函數g（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．…（5分）
（2）依題意可對任意x∈[1，+∞），f（x）≥g（x）_min，
由（1）得g（x）_min=g（0）=0，故對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立．…（6分）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，當a≤0時，f'（x）＜0，故函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，不合題意．…（8分）
當0＜a＜1時，$f'（x）＜0?1＜x＜\frac{1}{a}$，$f'（x）＞0?x＞\frac{1}{a}$，
故函數f（x）在區(qū)間$[{1，\frac{1}{a}}）$上單調遞減，在$（{\frac{1}{a}，+∞}]$上單調遞增，
當$1≤x＜\frac{1}{a}$時，f（x）≤f（1）=0，不符合題意．…（10分）
當a≥1時，f'（x）≥0，故函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上增，
∴f（x）≥f（1）=0，符合題意．
∴a的取值范圍[1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．