Question

16．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且對任意正整數(shù)n都有a_n²=S_2n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列$\{\frac{b_n}{{{a_{n-1}}}}\}$是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，a_n≠0．對任意正整數(shù)n都有a_n²=S_2n-1，可得${a}_{1}^{2}$=a₁，${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+d）^{2}$=S₃=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，解得a₁，d，即可得出．
（2）$\frac{_{n}}{{a}_{n-1}}$=•3^n-1，可得b_n=（2n-3）•3^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，a_n≠0．
對任意正整數(shù)n都有a_n²=S_2n-1，∴${a}_{1}^{2}$=a₁，${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+d）^{2}$=S₃=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，
解得a₁=1，d=2，或-1（舍去）．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）$\frac{_{n}}{{a}_{n-1}}$=•3^n-1，∴b_n=（2n-3）•3^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-1+3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1，
∴3T_n=-3+3²+3×3³+…+（2n-5）•3^n-1+（2n-3）•3ⁿ，
∴-2T_n=-1+2（3+3²+…+3^n-1）+（2n-3）•3ⁿ=-1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-3）•3ⁿ，
∴T_n=2+（n-2）•3ⁿ．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．