Question

20．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的漸近線，且C₁的右焦點(diǎn)為F（$\sqrt{5}$，0），則雙曲線C₁的方程為${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

Answer 1

分析 結(jié)合已知即可得$\frac{a}$=2，c=$\sqrt{5}$，列方程解得a、b的值，即可求出雙曲線C₁的方程．

解答 解：∵雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為y=±2x，雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的漸近線，
∴$\frac{a}$=2，
∵且C₁的右焦點(diǎn)為F（$\sqrt{5}$，0）．
∴c=$\sqrt{5}$，由a²+b²=c²
解得a=1，b=2，
∴雙曲線C₁的方程為${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．
故答案為${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．