Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心C在直線l上；若動點M滿足：|MA|=2|MO|，且M的軌跡與圓C有公共點．求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析 設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：設點M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點M在圓C上，C（a，2a-4），
∴圓C與圓D的關系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

點評 此題考查了點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．