Question

9．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與圓${C_2}：{x^2}+{y^2}={c^2}$（c是雙曲線的半焦距）相交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P，又F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)，若$∠P{F_2}{F_1}=\frac{π}{3}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由題意可得，三角形F₁F₂P是有一個(gè)內(nèi)角為60°角的直角三角形，根據(jù)此直角三角形，結(jié)合雙曲線的離心率的定義即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題設(shè)知圓C₂的直徑為F₁F₂，則$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，又$∠P{F_2}{F_1}=\frac{π}{3}$，
所以$|{P{F_1}}|=\sqrt{3}c$，|PF₂|=c，
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，即$（\sqrt{3}-1）c=2a$，所以$e=\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}=\sqrt{3}+1$．
故答案為$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義的運(yùn)用，屬于中檔題．