Question

20．設(shè)f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若對任意的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}-1$，+∞）時，f′（x）＞0．由此求出x=$\frac{1}{e}$-1時，[f（x）]_min=f（$\frac{1}{e}-1$），由此能求出結(jié)果．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，對函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a令g′（x）=0，得x=e^a-1-1，由此根據(jù)a≤1，a＞1進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（x+1）ln（x+1），
∴x+1＞0，解得x＞-1，
f′（x）=ln（x+1）+1，
令f′（x）=0，得x+1=$\frac{1}{e}$，即x=$\frac{1}{e}-1$，
當(dāng)x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}-1$，+∞）時，f′（x）＞0．
∴x=$\frac{1}{e}$-1時，[f（x）]_min=f（$\frac{1}{e}-1$）=$\frac{1}{e}ln（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
對函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當(dāng)a≤1時，對所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（0）=0，所以對x≥0，都有g(shù)（x）≥g（0），
即當(dāng)a≤1時，對于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當(dāng)a＞1時，對于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對0＜x＜e^a-1-1，都有g(shù)（x）＜g（0），
即當(dāng)a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．