Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，則不等式（x+2017）³f（x+2017）+27f（-3）＞0的解集是（　�。�

• A． （-2020，-2017）
• B． （-∞，-2017）
• C． （-2018，-2017）
• D． （-∞，-2020）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：由3f（x）+xf′（x）＞0，（x＜0），
得：3x²f（x）+x³f′（x）＞0，
即[x³f（x）]′＞0，
令F（x）=x³f（x），
則當(dāng)x＜0時，
得F′（x）＞0，即F（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴F（x+2017）=（x+2017）³f（x+2017），F(xiàn)（-3）=-27f（-3），
即不等式等價為F（x+2017）＞F（-3），
∵F（x）在（-∞，0）是增函數(shù)，
∴由F（x+2017）＞F（-3）得，x+2017＞-3，
即x＞-2020，而x+2017＜0，故x＜-2017，
故選：A．

點評 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．