Question

15．已知△ABC，|AB|=8，AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）當m=1時，過點E（0，1）的直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求P、Q兩點的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，利用AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，建立方程，即可求動點C的軌跡方程；
（2）分類討論，聯(lián)立方程組，即可求P、Q兩點的中點M的軌跡方程．

解答 解：以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系
則A（-4，0），B（4，0）
（1）設點C的坐標為（x，y），則${k_{AC}}=\frac{y}{x+4}，{k_{BC}}=\frac{y}{x-4}$，
∴${k_{BC}}{k_{AC}}=\frac{y}{x-4}•\frac{y}{x+4}=\frac{y^2}{{{x^2}-16}}=m$，
即mx²-y²=16m----------------------------------------------------------------------------------（2分）
當m=0時，動點C的軌跡方程為y=0（x≠±4），
表示x軸所在直線去掉A、B兩點剩下的部分--------------------------------------------（3分）
當m＞0時，動點C的軌跡方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16m}=1（x≠±4）$
表示焦點在x軸上的雙曲線去掉A、B兩點剩下的部-----------------------------------（4分）
當-1＜m＜0時，動點C的軌跡方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{-16m}=1（x≠±4）$
表示焦點在x軸上的橢圓去掉A、B兩點剩下的部分-----------------------------------（5分）
當m＜-1時，動點C的軌跡方程為 $\frac{y^2}{-16m}+\frac{x^2}{16}=1（x≠±4）$
表示焦點在y軸上的橢圓去掉A、B兩點剩下的部分------------------------------------（6分）
當m=-1時，動點C的軌跡方程為 x²+y²=16（x≠±4）
表示以AB為直徑的圓去掉A、B兩點剩下的部分---------------------------------------（7分）
（2）當m=1時，動點C的軌跡方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）$，--------------------（8分）
當直線l的斜率不存在時，顯然不可能與$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）$有交點，舍去；
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+1，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）\\ y=kx+1\end{array}\right.$，
消去y得：（1-k²）x²-2kx-17=0
由題意得：x₁、x₂是此方程的解
所以${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}$∴${y_1}+{y_2}=（k{x_1}+1）+（k{x_2}+1）=\frac{2}{{1-{k^2}}}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{{1-{k^2}}}\\{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{{1-{k^2}}}\end{array}\right.$$\frac{x_0}{y_0}=k$，所以得$y_0^2-x_0^2-{y_0}=0$----------------------------（10分）
又直線l與動點C的軌跡方程有兩個不同的焦點，
則$\left\{\begin{array}{l}△={（-2k）^2}+4×17（1-{k^2}）＞0\\ 1-{k^2}≠0\\{k^2}≠\frac{1}{16}\end{array}\right.$∴${k^2}＜\frac{17}{16}$且${k^2}≠\frac{1}{16}$且k²≠1，∴${y_0}≥1且{y_0}≠\frac{16}{15}$或y₀＜-16
所以P、Q兩點的中點M的軌跡方程為${y^2}-{x^2}-y=0（y≥1且{y_{\;}}≠\frac{16}{15}$或y＜-16）-----------------------（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線位置關系的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．