Question

4．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-3sin²x-cos²x+3．
（1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{sin（2A+C）}{sinA}$=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式以及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；
（2）由兩角和與差的正弦公式、正弦定理化簡已知的式子，由條件和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由三角形的內(nèi)角和定理求出B，代入可得f（B）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-3sin²x-cos²x+3
=$\sqrt{3}$sin2x-3•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+3
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，則2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]，
即函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的值域是[0，3]；
（2）∵$\frac{sin（2A+C）}{sinA}$=2+2cos（A+C），
∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
-sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理可得c=2a，又由$\frac{a}$=$\sqrt{3}$可得b=$\sqrt{3}$a，
由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{3a}^{2}+{4a}^{2}-{a}^{2}}{2•\sqrt{3}a•2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0°＜A＜180°，∴A=30°，
則sinC=2sinA=1，即C=90°，
∴B=180°-A-C=60°，
∴f（B）=f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）+1=2．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，二倍角公式以及變形、兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．