Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，AF₂、BF₂分別交y軸于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF₂的周長為12，則ab取得最大值時(shí)雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，△ABF₂的周長為24，利用雙曲線的定義，可得$\frac{4^{2}}{a}$=24-4a，進(jìn)而轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，△ABF₂的周長為24，
∵|AF₂|+|BF₂|+|AB|=24，
∵|AF₂|+|BF₂|-|AB|=4a，|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，
∴$\frac{4^{2}}{a}$=24-4a，∴b²=a（6-a），
∴y=a²b²=a³（6-a），∴y′=2a²（9-2a），
0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，
∴a=4.5時(shí)，y=a²b²取得最大值，此時(shí)ab取得最大值，b=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴c=3$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng)．