Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對一切n∈N*，有a_n＞0且a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$．
（1）求證：a_n＞2且a_n+1＜a_n；
（2）求證：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2（n+1）

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學歸納法證明，當n=1時結論成立，第二步假設n=k時結論成立，證明n=k+1時不等式也成立即可；結合結論，可利用作商比較法證明．
（1）利用（1）的結論逐步放縮即可證明

解答 證明：（1）證明：用數(shù)學歸納法證明，
①當n=1，a₁=a＞2，結論成立．
②假設當n=k（k≥2）時結論成立，即a_k＞2，
那么當n=k+1時，a _k+1-2=$\frac{{a}_{k}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{{a}_{k}^{2}-4{a}_{k}+4}{2（{a}_{k}-1）}$=$\frac{（{a}_{k}-2）^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，即a_k+1＞2，
由①②可知，n∈N^*時都有a_n＞2．
當a_n＞2時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{{a}_{n}}）}$＜$\frac{1}{2（1-\frac{1}{2}）}$=1，所以a_n+1＜a_n．
（2）由（1）得a_n-2=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$•$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}-1}$＜$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$，
∴a_n-2＜$\frac{{a}_{n-1}-2}{2}$＜$\frac{{a}_{n-2}-2}{{2}^{2}}$＜…＜$\frac{{a}_{1}-2}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
∴（a₁-2）+（a₂-2）+…+a_n-2＜（3-2）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）=2，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2（n+1）

點評 本題考查數(shù)學歸納法證明不等式的應用和放縮法證明不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．