Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x；
（1）若f（x）在（-∞，-

1

3

）上單調(diào)遞增，在（-

1

3

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a=

1

2

時，求證：當(dāng)x＞0時，f（x）≥x-

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)極值的意義，得出-

1

3

和1是f′（x）=0的方程的根，即可求得a；
（2）由f（x）=x³-

1

2

x²-x，要證f（x）≥x-

3

2

，即證x³-

1

2

x²-2x+

3

2

≥0，令g（x）=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，利用導(dǎo)數(shù)法求得
g（x）_min=g（1）=0，即可得證．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-1=3（x+

1

3

）（x-1）=（3x+1）（x-1）=3x²-2x-1，∴a=1．
（2）f（x）=x³-

1

2

x²-x，要證f（x）≥x-

3

2

，即證x³-

1

2

x²-2x+

3

2

≥0，
令g（x）=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，
∴g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）=0，
∴x=1或x=-

2

3

，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥x-

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題等知識，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬中檔題．