【題目】在圓 上任取一點 ,點 軸的正射影為點 ,當點 在圓上運動時,動點 滿足 ,動點 形成的軌跡為曲線
(Ⅰ)求曲線 的方程;
(Ⅱ)點 在曲線 上,過點 的直線 交曲線 兩點,設(shè)直線 斜率為 ,直線 斜率為 ,求證: 為定值.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點 坐標為 , 點 的坐標為 ,則 ,

因為點 在圓 ,所以

, 代入方程①,得 ,

所以曲線 的方程為

(Ⅱ)方法一:由題意知直線 斜率不為0,設(shè)直線 方程為 ,

消去 ,得 ,

易知 ,得

.所以 為定值

方法二:(ⅰ)當直線 斜率不存在時,

所以

(ⅱ)當直線 斜率存在時,設(shè)直線 方程為 ,

消去 ,得 ,

易知

.所以 為定值


【解析】(I)用代入法求點的軌跡方程,設(shè)點 M 坐標為 ( x , y ) , 點 P 的坐標為 ( , ),找到x,y與的關(guān)系即可。
(II)此題結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系,考察定值問題;因此設(shè)出直線的方程,聯(lián)立,利用韋達定理得到點B、D的坐標的關(guān)系,再利用直線的斜率的坐標公式表示出即可。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解斜率的計算公式的相關(guān)知識,掌握給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率:斜率公式: k=y2-y1/x2-x1,以及對橢圓的標準方程的理解,了解橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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