Question

7．有一個(gè)不透明的袋子，裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別編有數(shù)字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐個(gè)不放回取球兩次，求第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為a，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為b，求直線ax+by+1=0與圓x²+y²=$\frac{1}{16}$沒有公共點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的編號(hào)，b表示第二次取到球的編號(hào)）表示先后二次取球構(gòu)成的基本事件，求出所有的基本事件數(shù)，設(shè)“第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除”為事件A，求出A的個(gè)數(shù)，然后求解概率．
（Ⅱ）列出所有的基本事件，通過“直線與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$沒有公共的”為事件B，求出事件B包含的基本事件數(shù)，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的編號(hào)，b表示第二次取到球的編號(hào)）表示先后二次取球構(gòu)成的基本事件，則所有的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12個(gè)．…（2分）
設(shè)“第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除”為事件A，
則事件A包含的基本事件有：
（2，1），（2，4），（4，2）共有3個(gè)，…（4分）
∴P（A）=$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）所有的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16個(gè)，…（8分）
設(shè)“直線與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$沒有公共的”為事件B，
由題意$\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}＞\frac{1}{4}$，…（9分）
即a²+b²＜16，則事件B包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共8個(gè)，…（10分）
∴P（B）=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．