Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，$∠A=\frac{π}{3}$，AC=4，AA₁=4，M為AA₁的中點(diǎn)，P為BM的中點(diǎn)，Q在線段CA₁上，A₁Q=3QC．則異面直線PQ與AC所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{13}$

Answer 1

分析 由條件即可分別以CA，CB，CC₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件即可求出圖中一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，從而可求出cos$＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞$，這樣便可求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值．

解答 解：根據(jù)條件知，CA，CB，CC₁三直線兩兩垂直，
分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：C（0，0，0），A（4，0，0），B（$0，4\sqrt{3}，0$），
A₁（4，0，4），M（4，0，2），$P（2，2\sqrt{3}，1）$，
Q（1，0，1）；
∴$\overrightarrow{PQ}=（-1，-2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-4，0，0）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AC}=4，|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{13}，|\overrightarrow{AC}|=4$；
∴$cos＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{4}{\sqrt{13}×4}=\frac{1}{\sqrt{13}}$；
∴sin$＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
即異面直線PQ與AC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決幾何問題的方法，能求空間上點(diǎn)的坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)能求向量坐標(biāo)，向量夾角的余弦公式．