Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²（x-3a）+1（a＞0，x∈R）
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）函數(shù)y=f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間（0，+∞）上存在實數(shù)x₀，使得不等式f（x₀）-4a³≤0能成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，即可求得函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）由（1）可知：函數(shù)y=f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，則2a≥2，即可求得a的取值范圍；
（3）由題意可知：-4a³≥f（x） _min在（0，+∞）上恒成立，由（1）可知：f（x）的最小值為：-4a³+1，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²（x-3a）+1，求導(dǎo)f'（x）=3x（x-2a），令 f'（x）=0，解得x=0或 x=2a．
f（0）=1，f（2a）=-4a³+1．
當(dāng)a＞0時，2a＞0，當(dāng) x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	-4a3+1	↗

∴當(dāng)a＞0時，在x=0處，函數(shù)f（x）有極大值f（0）=1；在 x=2a處，函數(shù)f（x）有極小值 f（2a）=-4a³+1．
（2）在（0，2）上單調(diào)遞減，∴2a≥2，即a≥1，
實數(shù)a的取值范圍[1，+∞）；
（3）依題意在區(qū)間（0，+∞）上存在實數(shù)x₀，得使得不等式f（x₀）-4a³≤0能成立，則4a³≥f（x₀）在（0，+∞）上成立，
∴4a³≥f（x）_min，由（1）可知：f（x）的最小值為：-4a³+1，
∴4a³≥-4a³+1，則8a³≥1，
解得：a≥$\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．