Question

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）長軸的兩頂點為A、B，左右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2c且a=2c，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在雙曲線$T：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$上取點Q（異于頂點），直線OQ與橢圓C交于點P，若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，試證明：k₁+k₂+k₃+k₄為定值；
（3）在橢圓C外的拋物線K：y²=4x上取一點E，若EF₁、EF₂的斜率分別為${k_1}^′$、${k_2}^′$，求$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的通徑公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程方程；
（2）根據(jù)直線的斜率公式，求得k₁+k₂=-$\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}$，k₃+k₄=$\frac{3{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，由$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$共線，則$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，即可求得k₁+k₂+k₃+k₄=0；
（3）EF₁的斜率${k_1}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠-2），EF₂的斜率${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠2），則$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$=$\frac{{y}^{4}-16}{16{y}^{2}}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意a=2c，橢圓的通徑丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=3，
a²=b²+c²，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由（1）可知：A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)P（x₁，y₁），
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，則x₁²-4=-$\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}$，k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-4}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{-\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}}$=-$\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}$，設(shè)Q（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，則x₁²-4=$\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}$，
則k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{\frac{4{y}_{2}^{2}}{3}}$=$\frac{3{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，
又$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$共線，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{3}{2}$（-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$）=0；

 （3）設(shè)E（$\frac{{y}^{2}}{4}$，y），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2}{3}}\\{{y}^{2}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
由E在橢圓C外的拋物線K：y²=4x上一點，則y²＞$\frac{8}{3}$，

則EF₁的斜率${k_1}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠-2），EF₂的斜率${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠2）
則${k_1}^′$${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$×$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$=$\frac{{y}^{2}}{（\frac{{y}^{2}}{4}）^{2}-1}$=$\frac{16{y}^{2}}{{y}^{4}-16}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2）
則$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$=$\frac{{y}^{4}-16}{16{y}^{2}}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2）
令t=y²，（t＞$\frac{8}{3}$且t≠4，）
設(shè)f（t）=$\frac{{t}^{2}-16}{16t}$=$\frac{t}{16}$-$\frac{1}{t}$，（t＞$\frac{8}{3}$且t≠4，），求導f′（t）=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0
∴f（t）在（$\frac{8}{3}$，4），（4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（t）的取值范圍（-$\frac{5}{24}$，0）∪（0，+∞）
∴$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范圍$（-\frac{5}{24}，0）∪（0，+∞）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的斜率公式，橢圓及雙曲線的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．