Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，已知圓O：x²+y²=4與直線l：x=4，A，B是圓O與x軸的交點，P是l上的動點．
（1）若從P到圓O的切線長為$2\sqrt{3}$，求點P的坐標；
（2）若直線PA，PB與圓O的另一個交點分別為M，N，求證：直線MN經(jīng)過定點．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為（4，a），設PD是圓O的切線，D是切點，則OD⊥PD．然后利用勾股定理列式求得a，則P的坐標可求；
（2）由題意知：A（-2，0），B（2，0），設P（4，a），求出直線PA方程，與圓的方程聯(lián)立求得M坐標，同理求得N的坐標，然后分MN⊥x軸和MN與x軸不垂直分類求出MN所在直線方程，可得直線MN經(jīng)過定點．

解答 （1）解：設點P的坐標為（4，a），設PD是圓O的切線，D是切點，則OD⊥PD．
在Rt△PDO中，PO²=PD²+OD²=12+4=16，
即16+a²=16，∴a=0，
故點P的坐標為（4，0）；
（2）證明：由題意知：A（-2，0），B（2，0），設P（4，a），直線PA方程為：$y=\frac{a}{6}（x+2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=\frac{a}{6}（x+2）\end{array}\right.$，得（a²+36）x²+4a²x+4（a²-36）=0，
解得x=-2，$x=-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}$，∴$M（-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}，\frac{24a}{{{a^2}+36}}）$，
同理可求$N（\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}，\frac{-8a}{{{a^2}+4}}）$．
①若MN⊥x軸，則$-\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}=\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}$，
解得a²=12，此時點M，N的橫坐標都為1，直線MN過定點（1，0）；
②若MN與x軸不垂直，即a²≠12，此時${k_{MN}}=\frac{{\frac{-8a}{{{a^2}+4}}-\frac{24a}{{{a^2}+36}}}}{{\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}+\frac{{2（{a^2}-36）}}{{{a^2}+36}}}}=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}$，
∴直線MN的方程為：$y-\frac{-8a}{{{a^2}+4}}=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}（x-\frac{{2（{a^2}-4）}}{{{a^2}+4}}）$，
即$y=\frac{-8a}{{{a^2}-12}}（x-1）$，直線MN過定點（1，0）．
綜上，直線MN過定點（1，0）．

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用，考查直線恒過定點問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．