Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求曲線f（x）過點(diǎn)（1，0）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f（x）導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間；進(jìn)而得到極值；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得切線的斜率，切線方程，代入（1，0），解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線方程．

解答 解：（1）f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，得${x_1}=-\sqrt{2}，{x_2}=\sqrt{2}$，
∴當(dāng)$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（{-∞，-\sqrt{2}}）$和$（{\sqrt{2}，+∞}）$，
單調(diào)遞減區(qū)間是$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$；
當(dāng)x=-$\sqrt{2}$，f（x）有極大值5+4$\sqrt{2}$；當(dāng)x=$\sqrt{2}$，f（x）有極小值5-4$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
則切線的斜率為3（m²-2），
切線的方程為y-（m³-6m+5）=3（m²-2）（x-m），
代入（1，0），可得-（m³-6m+5）=3（m²-2）（1-m），
化為（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
則斜率為-3或-$\frac{21}{4}$，
可得切線的方程為y=-3x+3或y=-$\frac{21}{4}$x+$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．