Question

5．已知直線l₁：x-2y=0的傾斜角為α，傾斜角為2α的直線l2與圓M：x²+y²+2x-2y+F=0交于A、C兩點(diǎn)，其中A（-1，0）、B、D在圓M上，且位于直線l₂的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積的最大值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由已知求出tanα，得到直線l₂的斜率，進(jìn)一步求得方程，由A在圓上求得F，得到圓的方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用垂徑定理求得|AC|的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系圖象，將ABCD的面積看成兩個(gè)三角形△ABC和△ACD的面積之和，分析可得當(dāng)BD為AC的垂直平分線時(shí)，四邊形ABCD的面積最大．

解答 解：直線l₁：x-2y=0的傾斜角為α，則tanα=$\frac{1}{2}$，
∴直線l₂的斜率k=tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$．
則直線l₂的方程為y-0=$\frac{4}{3}$（x+1），即4x-3y+4=0．
又A（-1，0）在圓上，∴（-1）²-2+F=0，得F=1，
∴圓的方程為x²+y²+2x-2y+1=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x+1）²+（y-1）²=1，圓心（-1，1），半徑r=1．
直線l₂與圓M相交于A，C兩點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式得弦心距d=$\frac{|4×（-1）-3×1+4|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}=\frac{3}{5}$，
由勾股定理得半弦長(zhǎng)=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$，
弦長(zhǎng)|AC|=2×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$．
又B，D兩點(diǎn)在圓上，并且位于直線l₂的兩側(cè)，四邊形ABCD的面積可以看成是兩個(gè)三角形△ABC和△ACD的面積之和，
如圖所示，
當(dāng)BD為弦AC的垂直平分線時(shí)（即為直徑時(shí)），兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，
最大面積為：S=$\frac{1}{2}$|AC|×|BE|+$\frac{1}{2}$|AC|×|DE|=$\frac{1}{2}$|AC|×|BD|=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×2=$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．