已知圓的半徑為r,周長(zhǎng)為2πr,我們能否利用定積分的知識(shí)來(lái)求其面積呢?

圖1-6-1

思路:在求曲邊梯形的面積時(shí),我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)區(qū)間的劃分很細(xì)時(shí),每個(gè)小矩形是一小窄條,當(dāng)Δxi→0時(shí),小窄條趨近于曲邊梯形在此處的高線,此高線的長(zhǎng)度是該處的函數(shù),變化著的高線從a掃到b,掃過(guò)的平面部分就是曲邊梯形(如圖1-6-1).所以,定積分可以理解為函數(shù)值f(x)從a到b的無(wú)限疊加.我們把這種思想用于求圓的面積.

圖1-6-2

探究:如圖1-6-2,將半徑n等分,各圓環(huán)的面積依次近似于2π,i=1,2,…,n.

圓面積S=所有圓環(huán)面積之和≈=I.

I=2πr2·(1+2+…+n)=2πr2.

當(dāng)n→∞時(shí),S→πr2.

由定積分可知,S==πr2.

由此看出圓面是圓周從半徑為0到半徑r掃過(guò)的平面部分,換言之,圓面積是圓周長(zhǎng)2πx(x從0到r)的無(wú)限疊加.

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3
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15
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