Question

8．設(shè)0＜b＜1+a，若關(guān)于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整數(shù)解恰有4個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜3．

Answer 1

分析 將不等式變形為[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0的解集中的整數(shù)恰有4個(gè)，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集為$\frac{-b}{a-1}$＜x＜$\frac{a+1}$＜1，考查解集端點(diǎn)的范圍，解出a的取值范圍．

解答 解：關(guān)于x 的不等式（x-b）²＞（ax）² 即 （a²-1）x²+2bx-b²＜0，
∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0 的解集中的整數(shù)恰有4個(gè)，∴a＞1，
∴不等式的解集為$\frac{-b}{a-1}$＜x＜$\frac{a+1}$＜1，所以解集里的整數(shù)是-3，-2，-1，0 三個(gè)
∴-4≤$\frac{-b}{a-1}$＜-3，
∴2a-2＜b≤4a-4，
∵b＜1+a，
∴2a-2＜1+a，
∴a＜3，
綜上，1＜a＜3，
故答案為1＜a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，解區(qū)間的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．