Question

3．已知集合A={x|（m-1）x²+3x-2=0}．
（1）若集合A為兩個(gè)元素的集合，試求實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得集合A有僅有兩個(gè)子集？若存在，求出所有的m的值組成的集合M；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若集合A為兩個(gè)元素的集合，則關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則m-1≠0，由此根據(jù)判別式能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若A恰有兩個(gè)子集，則A為單元素集，即關(guān)于x的方程（m-1）x²+3x-2=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍即可得答案．

解答 解：（1）若集合A為兩個(gè)元素的集合，則關(guān)于x的方程（m-1）x²+3x-2=0有實(shí)數(shù)解，則m-1≠0，
且△=9+8（m-1）＞0，∴$m＞-\frac{1}{8}$；
（2）集合A且僅有兩個(gè)子集，
∴關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
討論：①當(dāng)m=1時(shí)，x=$\frac{2}{3}$，滿足題意；
②當(dāng)m≠1時(shí)，△=8m+1=0，∴m=-$\frac{1}{8}$．
綜上所述，m=1或m=-$\frac{1}{8}$．
∴M的集合為{-$\frac{1}{8}$，1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析法、討論法的合理運(yùn)用，是中檔題．