3．設函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，x∈R．
（1）求證：當a=-2時，不等式lnf（x）＞1成立；
（2）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a最大值．

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得當a=-2時，f（x）＞e，從而證得結論．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|a-1|，可得|a-1|≥a，由此解絕對值不等式求得實數(shù)a最大值．

解答 （1）證明：由函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
得函數(shù)f（x）的最小值為3，從而f（x）≥3＞e，∴l(xiāng)nf（x）＞1成立．
（2）解：由絕對值的性質得函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
從而|a-1|≥a，∴a-1≥a，或 a-1≤-a，解得a≤$\frac{1}{2}$，因此a的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．設函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x2+（1-b）x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為8x-2y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x1，x2是f（x）的兩個極值點，證明：f（x1）+f（x2）＜8ln2-12．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C1：（x-3）2+（y-2）2=1，曲線C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t為參數(shù)將C1的方程寫成含t的參數(shù)方程，化C2的方程為普通方程，化C3的方程為直角坐標方程；
（2）若Q為C2上的動點，求點Q到曲線C3的距離的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=|ax+1|，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈R，f（x）+f（x-2）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（$\frac{a-1}{a}$）+f（$\frac{b-1}{a}$）+f（$\frac{c-1}{a}$）=4，求f（$\frac{{{a^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{b^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{c^2}-1}}{a}$）的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d的圖象如圖，則函數(shù)y=lnf′（x）的單調減區(qū)間為（　　）
A．[0，3）B．[-2，3]C．（-∞，-2）D．[3，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠0），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，設直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求圓C的直角坐標方程（化為標準方程）和直線l的極坐標方程；
（2）若直線l與圓C只有一個公共點，且a＜1，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=ax4•lnx+bx4-c在x=1處取得極值-3-c．
（1）試求實數(shù)a，b的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．設函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．設函數(shù)f（x）=ex-e2x，則f（x）的最小值為-e2．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案