Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax⁴•lnx+bx⁴-c在x=1處取得極值-3-c．
（1）試求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閤=1時(shí)函數(shù)取得極值得f（x）=-3-c求出b，然后令導(dǎo)函數(shù)=0求出a即可；
（2）解出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值討論x的取值范圍時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）不等式f（x）≥-2c²恒成立即f（x）的極小值≥-2c²，求出c的解集即可．

解答 解：（1）由題意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，從而b=-3
又對f（x）求導(dǎo)得f′（x）=x³（4alnx+a+4b）
由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12
（2）由（1）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)
因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）
（3）由（II）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-3-c，此極小值也是最小值，
要使f（x）≥-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≥-2c²
即2c²-c-3≥0，從而（2c-3）（c+1）≥0，解得c≥$\frac{3}{2}$或c≤-1
所以c的取值范圍為（-∞，-1]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時(shí)條件的應(yīng)用能力．