Question

5．函數(shù)y=sinx與y=cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的交點(diǎn)為P，在點(diǎn)P處兩函數(shù)的切線與x軸所圍成的三角形的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立y=sinx與y=cosx求出在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的交點(diǎn)P坐標(biāo)，然后求出該點(diǎn)處兩切線方程，從而求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：由sinx=cosx，且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得x=$\frac{π}{4}$，
∴y=sinx與y=cosx在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
函數(shù)y=sinx與y=cosx的導(dǎo)函數(shù)分別為y=cosx與y=-sinx，
則兩函數(shù)在（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）處的切線的斜率分別為$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
得兩條切線方程分別是y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$）和y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
y=0時(shí)，x=$\frac{π}{4}$-1，x=$\frac{π}{4}$+1，
于是三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{π}{4}$-1，0），（$\frac{π}{4}$+1，0），
S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即它們與x軸所圍成的三角形的面積是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的再某點(diǎn)切線方程，以及三角方程和三角形面積公式，屬于中檔題．