Question

8．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為A₁B，B₁C₁的中點
（Ⅰ）求證：MN∥平面A₁ACC₁
（Ⅱ）已知A₁A=AB=2，BC=$\sqrt{5}$，∠CAB=90°，求三棱錐C₁-ABA₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設K是B₁C的中點，分別在△AB₁C，△B₁C₁C中利用三角形中位線定理可得MK∥AC，KN∥CC₁，再由線面平行的判定可得MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）由已知求得△ABC的面積，然后利用${V}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$求得答案．

解答 （Ⅰ）證明：設K是B₁C的中點，分別在△AB₁C，△B₁C₁C中利用三角形中位線定理可得：
MK∥AC，KN∥CC₁，
又MK∩NK=K，∴平面MNK∥平面AA₁C₁C，
又MN?平面MNK，∴MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）解：∵∠CAB=90°，AB=2，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=1$，則S_△ABC=1，
∵ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴高為AA₁=2，
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2$．
∴${V}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．