Question

20．已知雙曲線C的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，點（3，$\sqrt{2}$）在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P（0，1）的直線l交雙曲線C于A，B兩點，交x軸于點Q（點Q與雙曲線的頂點不重合），當$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$=μ$\overrightarrow{QB}$，且λ•μ=-5時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為：x²-4y²=m（≠0），把點（3，$\sqrt{2}$）代入雙曲線方程即可得出．
（2）由題意可得：直線l的斜率存在且不為0，則可設(shè)l的方程為：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得Q$（-\frac{1}{k}，0）$．
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$，可得：A點坐標，代入在雙曲線上，整理可得：（1-k²）λ²+2λ+1-4k²=0，同理可得：（1-k²）μ²+2μ+1-4k²=0，可把λ，μ看作二次方程：（1-k²）x²+2x+1-4k²=0的兩個實數(shù)根，利用λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5時，解得k即可得出．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為：x²-4y²=m（≠0），把點（3，$\sqrt{2}$）代入雙曲線方程可得：x²-4y²=1．
（2）由題意可得：直線l的斜率存在且不為0，則可設(shè)l的方程為：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得Q$（-\frac{1}{k}，0）$．
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk}}\\{{y}_{1}=-\frac{1}{λ}}\end{array}\right.$，∵A在雙曲線上，∴$（-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk}）^{2}$-4$（-\frac{1}{λ}）^{2}$=1，整理可得：（1-k²）λ²+2λ+1-4k²=0，同理可得：（1-k²）μ²+2μ+1-4k²=0，
若1-k²=0，則直線l經(jīng)過頂點，舍去，∴1-k²≠0．
可把λ，μ看作二次方程：（1-k²）x²+2x+1-4k²=0的兩個實數(shù)根，
∴λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5時，解得k²=$\frac{2}{3}$．
此時△＞0，∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則直線方程為：y═±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+1．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題、向量運算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．