Question

14．如圖，三棱錐P-ABC，側(cè)棱PA=2，底面三角形ABC為正三角形，邊長為2，頂點P在平面ABC上的射影為D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；
（Ⅲ）線段PC上是否存在點E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求$\frac{CE}{CP}$的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠DBA=∠CAB=60°，ACBD為平面四邊形，從而DB∥AC．由此能證明AC∥平面PDB．
（Ⅱ）由點P在平面ABC上的射影為D可得PD⊥平面ACBD，以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的余弦值．
（Ⅲ）求出$\overrightarrow{AB}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，\sqrt{3}，-1）$，由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}$≠0，求出在線段PC上不存在點E使得PC⊥平面ABE．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為AD⊥DB，且DB=1，
AB=2，所以$AD=\sqrt{3}$，
所以∠DBA=60°．
因為△ABC為正三角形，所以∠CAB=60°，
又由已知可知ACBD為平面四邊形，所以DB∥AC．
因為AC?平面PDB，DB?平面PDB，
所以AC∥平面PDB．
解：（Ⅱ）由點P在平面ABC上的射影為D可得PD⊥平面ACBD，
所以PD⊥DA，PD⊥DB．
如圖，以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
則由已知可知B（1，0，0），$A（0，\sqrt{3}，0）$，P（0，0，1），$C（2，\sqrt{3}，0）$．
平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面PAB的一個法向量，則
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+z=0}\end{array}}\right.$，令y=1，則$x=\sqrt{3}，z=\sqrt{3}$，所以平面PAB的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×1}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
由圖象知二面角P-AB-C是鈍二面角，所以二面角P-AB-C的余弦值為$-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$\overrightarrow{AB}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，\sqrt{3}，-1）$，
因為$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}=（2，\sqrt{3}，-1）•（1，-\sqrt{3}，0）=-1≠0$，
所以PC與AB不垂直，
所以在線段PC上不存在點E使得PC⊥平面ABE．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足線面垂直的點是否存在的判斷與證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．