Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且

（1）求的取值范圍；

（2）證明：隨著的增大而減��；

（3）證明：隨著的增大而減小.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，對(duì)分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最大值，利用“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于①；②存在，滿足是；③存在，滿足.再逐個(gè)加以驗(yàn)證即可得到答案；

（2）由，有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究可證結(jié)論；

（3）由，設(shè)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論可證.

（1）的定義城為，由.

下面分兩種情況討論：

（�。�時(shí)，在上恒成立，可得在上單調(diào)遞增，不合題意.

（ⅱ）時(shí)，由，得.

當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：

		0
	遞增		遞減

這時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

于是，“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于如下條件同時(shí)成立：

①；②存在，滿足是；③存在，滿足.

由，解得.

而此時(shí)，取，滿足，且；

取，滿足，且，

令，，

因?yàn)?/span>，所以在上為遞減函數(shù)，

所以，即，

故的取值范圍是.

（2）證明：由，有，

設(shè)，由知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

并且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

由已知，，滿足.

由及的單調(diào)性，可得，.

對(duì)于任意的、，設(shè)，

﹐其中；，其中.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以由，即，可得.類(lèi)似可得.

又由，，得，

所以隨著的減小而增大.

（3）證明：由，

設(shè)，則，且

所.①

令，，則.

令，得.

當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞增，

故對(duì)于任意的，，由此可得，故在上單調(diào)遞增.

因此，由①可得隨著的增大而增大.而由（2），隨著的減小而增大，所以隨著的增大而減小.而隨著的增大而增大，因此隨著的增大而減小.