Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，側(cè)面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，且平面PBC⊥平面ABCD．
求證：
（1）AP∥平面BED；
（2）BD⊥平面APC．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交點(diǎn)O，連結(jié)OE，根據(jù)中位線定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；
（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性質(zhì)得出BD⊥AC，即可證明BD⊥平面PAC．

解答 解：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE．因?yàn)锳BCD是菱形，
所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
所以O(shè)E是△APC的中位線．
所以AP∥OE．
又OE?平面BED，AP?平面BED，
所以AP∥平面BED．
注：不寫(xiě)條件OE?平面BED，AP?平面BED，各扣 1 分．
（2）因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，PC⊥BC，
所以PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥BD．
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，
所以BD⊥AC．
又AC∩PC=C，
所以BD⊥平面APC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)與判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想和空間想象能力以及推理論證能力，屬于中檔題．