Question

9．如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，A₁B₁=B₁C₁=1．
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以B₁為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}，\overrightarrow{{B_1}{A_1}}，\overrightarrow{{B_1}B}$的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$，然后證明OC∥平面A₁B₁C₁．
（2）結(jié)合（1）中的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的一個法向量，平面ACA₁的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-AC-A₁的正弦值，即可．

解答 （本題滿分10分）
（1）證明：如圖，以B₁為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}，\overrightarrow{{B_1}{A_1}}，\overrightarrow{{B_1}B}$的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
依題意，${A_1}（{0，1，0}），{B_1}（{0，0，0}），{C_1}（{1，0，0}），O（{0，\frac{1}{2}，3}），C（{1，0，3}）$，
因?yàn)?\overrightarrow{OC}=（{1，-\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（{0，-1，0}），\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{1，0，0}）$，…（3分）
所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{0，-\frac{1}{2}，0}）+（{1，0，0}）=（{1，-\frac{1}{2}，0}）$，
所以$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A_1}{B_1}}+\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$，
又OC?平面A₁B₁C₁，所以O(shè)C∥平面A₁B₁C₁．…（4分）
（2）解：依題意，結(jié)合（1）中的空間直角坐標(biāo)系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A₁（0，1，0），
則$\overrightarrow{AB}=（{0，-1，-2}），\overrightarrow{BC}=（{1，0，1}），\overrightarrow{AC}=（{1，-1，-1}），\overrightarrow{{A_1}A}=（{0，0，4}）$，…（5分）
設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$為平面ABC的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-{y_1}-2{z_2}=0\\{x_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=-2z\\{x_1}=-z\end{array}\right.$
不妨設(shè)z₁=1，則x₁=-1，y₁=-2，
所以$\overrightarrow{n_1}=（{-1，-2，1}）$．…（7分）
設(shè)$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$為平面ACA₁的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}A}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{y_2}-{z_2}=0\\{z_2}=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}={y_2}\\{z_2}=0\end{array}\right.$
不妨設(shè)y₂=1，則x₂=1，
所以$\overrightarrow{n_2}=（{1，1，0}）$．…（9分）
因?yàn)椋?cos＜\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{-1-2+0}{{\sqrt{6}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
于是$sin＜\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}＞=\frac{1}{2}$，
所以，二面角B-AC-A₁的正弦值為$\frac{1}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查空間向量的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷方法，考查空間想象能力以及計算能力．