Question

13．將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}排成如圖所示的三角形數(shù)陣（第n行有n個(gè)數(shù)，同一行中，下標(biāo)小的數(shù)排在左邊），b_n表示數(shù)陣中，第n行、第1列的數(shù)．已知數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且從第3行開(kāi)始，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列（第3行的3個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列；第4行的4個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，…），a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．
（1）求數(shù)陣中第m行、第n列的數(shù)A（m，n）（用m，n表示）；
（2）求a₂₀₁₄的值；
（3）2014是否在該數(shù)陣中？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出關(guān)于公差d和公比q的方程組，求出q、d的值、b_n，由題意和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出A（m，n）的表達(dá)式；
（2）由圖表得到每一行中數(shù)的個(gè)數(shù)，由等差數(shù)列的求和公式求出前62、63行數(shù)的個(gè)數(shù)，從而確定a₂₀₁₄的列數(shù)，然后求解數(shù)值；
（3）假設(shè)2014為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，由數(shù)的規(guī)律列出不等式，再取特值進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定不等式?jīng)]有整數(shù)解，即可說(shuō)明2014不在該數(shù)陣中．

解答 解：（1）設(shè)公比為q，公差為d，
由題意知：a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34，
所以b₁=a₁=1，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{12}={q}^{4}+d=17}\\{{a}_{18}={q}^{5}+2d=34}\end{array}\right.$，…2分
解得：q=2、d=1，則b_n=2^n-1，
所以A（m，n）=b_m+（n-1）d=2^n-1+n-1…4分
（2）由表格知：每一行中有n個(gè)數(shù)，
因?yàn)?+2+3+…+62=$\frac{62×63}{2}$=1953，1+2+3+…+63=1953+63=2016…6分
所以2014-1953=61…8分
則a₂₀₁₄為數(shù)陣中第63行第61列的數(shù)．
a₂₀₁₄=2⁶⁰+60…10分．
（3）假設(shè)2014為數(shù)陣中第m行第n列的數(shù)，
由第m行最小的數(shù)為2^m-1，最大的數(shù)為2^m-1+m-1，
所以2^m-1≤2014≤2^m-1+m-1，…14分
當(dāng)m≤11時(shí)，2^m-1+m-1≤2¹⁰+10=1034＜2013；…16分
當(dāng)m≥12時(shí)，2^m-1≥2¹¹=2048＞2014，
于是，不等式2^m-1≤2014≤2^m-1+m-1沒(méi)有整數(shù)解，
所以2014不在該數(shù)陣中．…18分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，歸納法的應(yīng)用，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，解答此題要有很好的耐心，考查了邏輯思維能力和運(yùn)算能力，是難度非常大的少見(jiàn)題目．