Question

14．已知函數f（x）=lnx，$g（x）=\frac{1}{2}ax+b$．
（Ⅰ）若f（x）與g（x）在x=1處相切，試求g（x）的表達式；
（Ⅱ）若$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$在[1，+∞）上是減函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）證明不等式：$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$$＜\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）=$\frac{1}{2}$a，求出a的值，根據g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出φ（x）的導數，問題轉化為x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的范圍即可；
（Ⅲ）根據$lnx＞\frac{2（x-1）}{x+1}$得到：$\frac{1}{lnx}＜\frac{1}{2}•\frac{x+1}{x-1}$，對x取值，累加即可．

解答 解：（Ⅰ）由于f（x）與g（x）在x=1處相切
且$f'（x）=\frac{1}{x}$∴$f'（1）=1=\frac{1}{2}a$得：a=2------------------（2分）
又∵$g（1）=0=\frac{1}{2}a+b$∴b=-1∴g（x）=x-1------------------（3分）
（Ⅱ）$φ（x）=\frac{m（x-1）}{x+1}-f（x）$=$\frac{m（x-1）}{x+1}-lnx$在[1，+∞）上是減函數，
∴$ϕ'（x）=\frac{{-{x^2}+（2m-2）x-1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≤0$在[1，+∞）上恒成立．------------------（5分）
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由$2m-2≤x+\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞）
又∵$x+\frac{1}{x}∈[2，+∞）$∴2m-2≤2得m≤2------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：當m=2時：
ϕ（x）=$\frac{2（x-1）}{x+1}-lnx$在[1，+∞）上是減函數，
∴當x＞1時：ϕ（x）＜ϕ（1）=0即$\frac{2（x-1）}{x+1}-lnx$＜0
所以$lnx＞\frac{2（x-1）}{x+1}$從而得到：$\frac{1}{lnx}＜\frac{1}{2}•\frac{x+1}{x-1}$------------------（10分）
當x=2時：$\frac{1}{ln2}＜\frac{1}{2}•\frac{3}{1}$
當x=3時：$\frac{1}{ln3}＜\frac{1}{2}•\frac{4}{2}$
當x=4時：$\frac{1}{ln4}＜\frac{1}{2}•\frac{5}{3}$??
當x=n+1時：$\frac{1}{ln（n+1）}＜\frac{1}{2}•\frac{n+2}{n}$，n∈N₊，n≥2
上述不等式相加得：
$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$$＜\frac{1}{2}（\frac{3}{1}+\frac{4}{2}+\frac{5}{3}+…+\frac{n+2}{n}）$
=$\frac{1}{2}（n+\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{2}{n}）$=$\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$
即$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln（n+1）}$$＜\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．（n∈N₊，n≥2）
------------------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．