Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，已知曲線y=f（x）在x=1處的切線過(guò)點(diǎn)（2，3）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值．
（2）是否存在自然數(shù)k，使得函數(shù)y=f（x）-g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的較小值），對(duì)于實(shí)數(shù)m，?x₀∈（0，+∞），使得h（x₀）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程，把點(diǎn)（2，3）代入切線方程即可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)$φ（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．結(jié)合φ（1）φ（2）＜0，可得?x₀∈（1，2），使得φ（x₀）=0，從而求得k值；
（3）由題意寫出分段函數(shù)h（x），然后利用導(dǎo)數(shù)分類求出函數(shù)的最大值，得到h（x）在（0，+∞）上的最大值，即可求得滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+$\frac{a}{x}+1$，
則f'（1）=a+1，f（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=（1+a）（x-1），代入（2，3），得3=1+a，即a=2；
（2）存在k=1符合題意，證明如下：
令$φ（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，φ（x）＜0，φ（2）=$4ln2-\frac{8}{{e}^{2}}$＞$4ln\sqrt{e}-\frac{8}{4}=0$，
∴φ（1）φ（2）＜0．
可得?x₀∈（1，2），使得φ（x₀）=0，
φ′（x）=lnx+$\frac{2}{x}+1$+$\frac{2x（x-2）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，φ′（x）＞1+$\frac{2x（x-2）}{{e}^{x}}$$＞1-\frac{2}{e}$＞0；
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，φ′（x）=lnx+$\frac{2}{x}+1$+$\frac{2x（x-2）}{{e}^{x}}$＞0．
即x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0．
φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
可得φ（x）=0在（1，2）有唯一實(shí)根．
∴存在k=1使得函數(shù)y=f（x）-g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（3）?x₀∈（0，+∞），使得h（x₀）≥m成立，則m≤h_max（x）．
由（2）知，函數(shù)y=f（x）-g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)x₀ ．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜g（x），x∈（x₀，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）lnx，x∈（0，{x}_{0}]}\\{\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（0，x₀]時(shí)，若x∈（0，1]，h（x）=f（x）≤0，
若x∈（1，x₀]，h′（x）=lnx+$\frac{2}{x}+1$＞0，h（x）在（1，x₀]上單調(diào)遞增，
∴0＜h（x）≤h（x₀），
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h′（x）=$\frac{2x（2-x）}{{e}^{x}}$，
可得x∈（x₀，2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴x∈（x₀，+∞）時(shí)，h（x）≤h（2）=$\frac{8}{{e}^{2}}$，且h（x₀）＜h（2）．
可得${h_{max}}（x）=h（2）=\frac{8}{e^2}$．
∴$m≤\frac{8}{e^2}$時(shí)，?x₀∈（0，+∞），使得h（x₀）≥m成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查分類討論、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，考查函數(shù)構(gòu)造法，題目設(shè)置難度較大．