Question

16．已知函數(shù)y=f（x）的定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf'（x）＜f（-x）（其中f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}）$，b=（lg3）f（lg3），c=$（{log_3}\frac{1}{3}）f（{log_3}\frac{1}{3}）$，則（　�。�

• A． c＞a＞b
• B． c＞b＞a
• C． a＞b＞c
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 設(shè)F（x）=xf（x），根據(jù)題意得F（x）是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，由此比較$\sqrt{3}$、lg3和1的大小，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，不難得到本題的答案．

解答 解：設(shè)F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數(shù)．
∵0＜lg3＜lg10=1，$\sqrt{3}$∈（1，2）
∴F（2）＞F（$\sqrt{3}$）＞F（lg3）
∵log₃$\frac{1}{3}$=-1，從而F（log₃$\frac{1}{3}$）=F（-1）=F（1）
∴F（$\sqrt{3}$）＞F（log₃$\frac{1}{3}$）＞F（lg3）
得a＞c＞b，
故答案為：D

點評 本題給出抽象函數(shù)，比較幾個函數(shù)值的大�。�著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式比較大小和函數(shù)單調(diào)性與奇偶性關(guān)系等知識，屬于中檔題．