Question

1．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中點，則$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}$=-1．

Answer 1

分析 由題意可得△BCD為等腰直角三角形，求得BD的長，運用中點的向量表示和向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，
可得△BCD為等腰直角三角形，
則BD=$\sqrt{2}$，且P是AB的中點，可得$\overrightarrow{DP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{DA}$），
$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{DA}$）•（$\overrightarrow{DB}$-$\overrightarrow{DA}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}$²-$\overrightarrow{DA}$²）
=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{2}$）²-2²]=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時考查向量的加減運算和中點向量表示形式，考查運算能力，屬于中檔題．