Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x），滿足當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（2）=3．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0；
（3）解不等式f（7+2x）＞9．

Answer 1

分析 （1）令y=0得f（x）=f（x）•f（0）恒成立，從而得出f（0）=1；
（2）由題意可知f（x）=f²（$\frac{x}{2}$）≥0，使用反證法證明f（x）≠0即可得出結(jié)論；
（3）先求出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可列出不等式解出x．

解答 （1）解：對任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）．
令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），
令y=0，得f（x）=f（x）•f（0），對任意x∈R成立，
所以f（0）≠0，因此f（0）=1．
（2）證明：對任意x∈R，有$f（x）=f（\frac{x}{2}）•f（\frac{x}{2}）={[f（\frac{x}{2}）]^2}≥0$
下證f（x）≠0：
假設(shè)存在x₀∈R，使f（x₀）=0，
則對任意x＞0，有f（x）=f[（x-x₀）+x₀]=f（x-x₀）f（x₀）=0．
這與已知x＞0時，f（x）＞1矛盾，故f（x）≠0．
所以，對任意x∈R，均有f（x）＞0成立．
（3）解：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]
又x₂-x₁＞0，由已知f（x₂-x₁）＞1，∴f（x₂-x₁）-1＞0．
又由（2）知，x₁∈R，f（x₁）＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（2）=3，∴f（4）=f（3）•f（3）=9，
由f（7+2x）＞9，得f（7+2x）＞f（4），
即7+2x＞4，解得$\{x|x＞-\frac{3}{2}\}$．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷與應(yīng)用，函數(shù)值的計算，屬于中檔題．