【題目】在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見(jiàn)，因?yàn)榱耸侵袊?guó)人的吉利數(shù)字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.數(shù)學(xué)李老師有一個(gè)正六棱柱形狀的筆筒，如圖，底面邊長(zhǎng)為，高為（底部及筒壁厚度忽略不計(jì)）.一根長(zhǎng)度為的圓鐵棒（粗細(xì)忽略不計(jì)）斜放在筆筒內(nèi)部，的一端置于正六棱柱某一側(cè)棱的底端，另一端置于和該側(cè)棱正對(duì)的側(cè)棱上.一位小朋友玩耍時(shí)，向筆筒內(nèi)注水，恰好將圓鐵棒淹沒(méi)，又將一個(gè)圓球放在筆筒口，球面又恰好接觸水面，則球的表面積為______.

【答案】

【解析】

根據(jù)鐵棒的長(zhǎng)、六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可求得水面高度；由正六邊形內(nèi)切圓的性質(zhì)可求得六棱柱體上面截得圓的半徑，設(shè)球的半徑為，表示出球心到截面圓的距離，即可求得球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.

六棱柱筆筒的邊長(zhǎng)為，高，鐵棒與底面六邊形的最長(zhǎng)對(duì)角線、對(duì)棱的部分長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，

所以，

∴，所以容器內(nèi)水面的高度為.

設(shè)球的半徑為，

則球被六棱柱體上面截球所得圓即為正六邊形的內(nèi)切圓，所以圓的半徑為，

六棱柱筆筒的高，水面的高度為，則球心到截面圓的距離為，

則，解得，

∴球的表面積為.

故答案為：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.

（1）已知點(diǎn)是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，的重心恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，求所

在直線的斜率；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，

且，求四邊形的面積最小時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列：，，，…，，…，對(duì)于給定的（，），記滿足不等式：（，）的構(gòu)成的集合為．

（Ⅰ）若數(shù)列，寫(xiě)出集合；

（Ⅱ）如果（，）均為相同的單元素集合，求證：數(shù)列，，…，，…為等差數(shù)列；

（Ⅲ）如果（，）為單元素集合，那么數(shù)列，，…，，…還是等差數(shù)列嗎？如果是等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明；如果不是等差數(shù)列，請(qǐng)給出反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每格子染一種顏色，并且從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數(shù)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正四棱柱中，E為AD的中點(diǎn).

（1）在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面平面？并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過(guò)曲線上一點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】新中國(guó)昂首闊步地走進(jìn)2019年，迎來(lái)了她70歲華誕.某平臺(tái)組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國(guó)70周年知識(shí)問(wèn)答”活動(dòng)，規(guī)則如下：共有30道單選題，每題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確，每答對(duì)一題獲得5顆紅星，每答錯(cuò)一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數(shù)無(wú)變化.答題所獲得的紅星可用來(lái)兌換神秘禮品，紅星數(shù)越多獎(jiǎng)品等級(jí)越高.小強(qiáng)參加該活動(dòng)，其中有些題目會(huì)做，有些題目可以排除若干錯(cuò)誤選項(xiàng)，其余的題目則完全不會(huì).

（1）請(qǐng)問(wèn)：對(duì)于完全不會(huì)的題目，小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個(gè)選項(xiàng)中選一個(gè)作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明理由）

（2）若小強(qiáng)有12道題目會(huì)做，剩下的題目中，可以排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)、可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)和完全不會(huì)的題目的數(shù)量比是.請(qǐng)問(wèn)：小強(qiáng)在本次活動(dòng)中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？

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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，且是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段的長(zhǎng)度為a，在線段上取兩個(gè)點(diǎn)C、D，使得，以為一邊在線段的上方做一個(gè)正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對(duì)圖二中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；

記第n個(gè)圖形（圖1為第1個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有．則正數(shù)a的最大值為______．

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