Question

設(shè)f（x）=px-

p

x

-2lnx．
（Ⅰ）若p=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

2e

x

，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）先假設(shè)存在，因為g（x）=

2e

x

，若在[1，e]上存在實數(shù)x，使得f（x）＞g（x），在區(qū)間[1，e]上分別求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后討論求解．

解答： 解：（I）由已知f(x)=x-

1

x

-2lnx
得f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

≥0．
∴f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
（II）∵g（x）=

2e

x

，在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0時，由（2）知f（x）在[1，e]遞減⇒f_max（x）=f（1）=0＜2，不合題意
②0＜p＜1時，由x∈[1，e]⇒x-

1

x

∈[0，e-

1

e

]
∴f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx＜x-

1

x

-2lnx＜e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2不合題意
③p≥1時，由（1）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，
x∈[1，e]，而f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne，g（x）_min=2，
∴

p(e- 1 e )-2lne＞2 p≥1

，
解得p＞

4e

e2-1

故p的取值范圍為（

4e

e2-1

，+∞）

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限的思想來解決問題．