Question

20．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0），
（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a、b代入函數(shù)，根據(jù)條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”建立方程解之即可；
（2）對任意實(shí)數(shù)b，f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成對任意實(shí)數(shù)b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個(gè)不等實(shí)根，再利用判別式建立a、b的不等關(guān)系，最后將b看成變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于b的恒成立問題求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，
f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0
?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為x=3或x=-1．
（2）對任意實(shí)數(shù)b，f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)
?對任意實(shí)數(shù)b，ax²+（b+1）x+b-1=x，
即ax²+bx+b-1=0恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
?對任意實(shí)數(shù)b，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立，
?對任意實(shí)數(shù)b，b²-4ab+4a＞0恒成立，
?△′=（4a）²-4×4a＜0
?a²-a＜0
?0＜a＜1．
即a的取值范圍是0＜a＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及恒成立問題的處理，屬于中檔題．