Question

【題目】在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2 ， 則（ ）
A.平面α與平面β垂直
B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°
C.平面α與平面β平行
D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)P1=fα（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過(guò)點(diǎn)P作平面α垂線的垂足
∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），
∴點(diǎn)Q1是過(guò)點(diǎn)P1作平面β垂線的垂足
同理，若P2=fβ（P），得點(diǎn)P2是過(guò)點(diǎn)P作平面β垂線的垂足
因此Q2=fα[fβ（P）]表示點(diǎn)Q2是過(guò)點(diǎn)P2作平面α垂線的垂足
∵對(duì)任意的點(diǎn)P，恒有PQ1=PQ2 ，
∴點(diǎn)Q1與Q2重合于同一點(diǎn)
由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α與平面β垂直
故選：A

【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與平面之間的位置關(guān)系和平面與平面之間的位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線在平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)；兩個(gè)平面平行沒(méi)有交點(diǎn)；兩個(gè)平面相交有一條公共直線．