Question

8．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線，
（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若OA⊥OB，弦AB是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組得出直線l的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；
（II）設(shè)AB方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和x₁x₂+y₁y₂=0求出b的值，從而得出定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線y=2x²，即${x^2}=\frac{y}{2}$，∴$p=\frac{1}{4}$，
∴焦點(diǎn)為$F（0，\frac{1}{8}）$．
（1）若直線l的斜率不存在，顯然有x₁+x₂=0，
（2）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y_1+y_2}{2}=k•\frac{x_1+x_2}{2}+b}\\{\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，$⇒\left\{{\begin{array}{l}{x_1^2+x_2^2=k•\frac{x_1+x_2}{2}+b}\\{x_1+x_2=-\frac{1}{2k}}\end{array}}\right.$，
 $⇒x_1^2+x_2^2=-\frac{1}{4}+b≥0$$⇒b≥\frac{1}{4}$，
即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)$F（0，\frac{1}{8}）$．
∴當(dāng)且僅當(dāng) x₁+x₂=0時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．
（Ⅱ）設(shè)弦AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得2x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{k}{2}$，x₁x₂=-$\frac{2}$．
∴y₁y₂=4x₁²x₂²=b²，
若OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴-$\frac{2}$+b²=0，解得b=$\frac{1}{2}$或b=0（舍）．
∴弦AB過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．