精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設函數f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（cos
x
2
，sin
x
2
） （x∈R），向量
b
=（cos?，sin?）（|?|＜
π
2
），f（x）的圖象關于直線x=
π
6
對稱．
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）若函數y=1+sin
x
2
的圖象按向量
c
=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函數y=f（x）的圖象，求向量
c
．
分析：（Ⅰ）通過向量的數量積，求出函數的關系式，利用對稱軸直接求出?的值；
（Ⅱ）若函數y=1+sin
x
2
的圖象按向量
c
=（m，n） （|m|＜π）平移，求出函數的解析式，利用與函數y=f（x）的圖象相同，求向量
c
．另解：通過函數y=f（x）逆向推出函數，使得與函數y=1+sin
x
2
的圖象相同，求出向量
c
．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
a
•
b
=cos
x
2
cos?+sin
x
2
sin?=cos（
x
2
-?），
∵f（x）的圖象關于直線x=
π
6
對稱，
∴f(
π
6
)=cos(
π
12
-φ)=cos(φ-
π
12
)=±1，
∴φ-
π
12
=kπ，k∈Z，又|?|＜
π
2
，∴?=
π
12
．
（Ⅱ）f（x）=cos（
x
2
-
π
12
）=sin（
x
2
+
5π
12
）=sin
1
2
（x+
5π
6
），
由y=1+sin
x
2
平移到y(tǒng)=sin
1
2
（x+
5π
6
），只需向左平移
5π
6
單位，
再向下平移1個單位，考慮到函數的周期為π，且
c
=（m，n） （|m|＜π），
∴m=-
5π
6
，n=-1，即
c
=（-
5π
6
，-1）．
另解：f（x）=cos（
x
2
-
π
12
）=sin（
x
2
+
5π
12
）=sin
1
2
（x+
5π
6
），
由y-1=sin
x
2
平移到y′=sin
1
2
(x′+
5π
6
)，只要
x′+
5π
6
=x
y′=y-1
即
x′-x=-
5π
6
y′-y=-1
，
∴
c
=（-
5π
6
，-1）．
點評：本題是一道三角函數與平面向量相結合的綜合問題，既考查了三角函數的變形以及三角函數的圖象與性質，又考查了運用平面向量進行圖象平移的知識．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=A+Bsinx，若B＜0時，f（x）的最大值是
3
2
，最小值是-
1
2
，則A=
 
，B=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
a
•
b
其中向量
a
=（2cosx，1），b=(cosx，
3
sin2x+m)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，
π
6
]時，f（x）的最大值為4，求m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點（0，1）和點(
π
2
，1)，當x∈[0，
π
2
]時，|f（x）|＜2，則實數a的取值范圍是（　　）
A、-
2
＜a≤1
B、1≤a＜4+3
2
C、-
2
＜a＜4+3
2
D、-a＜a＜2

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（A）=-
1
2
，且a=
3
，b+c=3，（b＞c），求b與c的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinωx+cosωx，sinωx）
b
=（sinωx-cosωx，2
3
cosωx），設函數f（x）=
a
•
b
（x∈R）的圖象關于直線x=
π
3
對稱，其中常數ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移
π
12
個單位，得到函數g（x）的圖象，用五點法作出函數g（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]的圖象．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案