Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．可得f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，化簡解出即可；
（2）利用函數(shù)單調性的定義與指數(shù)函數(shù)的單調性即可證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，
化為（1-a）（e^x-1）²=0，
∴1-a=0，
解得a=1．
∴f（x）=

ex-1

ex+1

．
經過驗證a=1時，函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）f（x）=1-

2

ex+1

．
函數(shù)f（x）是R上的單調遞增函數(shù)．
證明：?x₁＜x₂，0＜ex1＜ex2．
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ex1+1

-(1-

2

ex2+1

)
=

2(ex1-ex2)

(ex1+1)(ex2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的單調遞增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性與指數(shù)函數(shù)的單調性，屬于基礎題．