Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，n∈{N^*}$，且${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{2n}{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為${T_n}，n∈{N^*}$，證明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)${a_1}=\frac{3}{2}{a_1}-\frac{1}{2}$，得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}-{S_{n-1}}={a_n}=\frac{3}{2}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$得a_n=3a_n-1，
所以${a_n}={3^{n+1}}$，
（2）由（1）得：${b_n}=\frac{2n}{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，
又${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$①
得$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$②
兩式相減得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
故$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{{\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{3^n}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
所以T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$$＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考査了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．